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Sommaire de thermodynamique


Propriétés énergétiques des gaz parfaits


LOIS DE JOULE POUR UN GAZ PARFAIT

Énoncés

Cas d'un gaz parfait monoatomique

Extension à tous les gaz parfaits

LA RELATION DE MAYER

COMPRESSION ISOTHERME QUASI STATIQUE D' UN GAZ PARFAIT

COMPRESSION ADIABATIQUE D' UN GAZ PARFAIT

Loi de Laplace

Comparaison graphique entre la compression isotherme et la compression adiabatique

Autres expressions de la loi de Laplace

Calcul du travail reçu

Comment réaliser une transformation adiabatique quasi-statique ?

Un exemple pratique, l’expansion d’une mousse à raser

TRANSFORMATIONS FERMÉES POUR UN GAZ PARFAIT

Cycle à deux isobares et deux isochores

Cycle à deux isothermes et deux adiabatiques ou cycle de Carnot

 


Lois de Joule pour un gaz parfait

Énoncés 

Première loi de Joule

L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température.

Seconde loi de Joule

L'enthalpie d'un gaz parfait ne dépend que de la température.

Ces deux lois sont des lois phénoménologiques et ne peuvent absolument pas se déduire des équations d'état macroscopiques. Par contre, la mécanique statistique que l'on appelle aussi thermodynamique statistique ou physique statistique permet leur démonstration.

Cas d'un gaz parfait monoatomique

On peut penser à un gaz noble (Ar, Kr).

La mécanique statistique apporte le résultat suivant pour une mole de gaz parfait :

A partir de cette expression de la première loi de Joule, nous pouvons retrouver l'expression de la seconde loi de Joule.

Par définition de l'enthalpie :

Þ        

Remarque :

Pour un gaz parfait diatomique les résultats sont les suivants :

Extension à tous les gaz parfaits

Cherchons à donner une expression analytique de la première loi de Joule :

A priori pour un gaz réel, l'énergie interne est fonction de la température et du volume ; ce qui se traduit par l'expression de la différentielle :

D'autre part, le premier principe de la thermodynamique s'écrit :

dU = dQ - pdV     où     dQ = Cv dT + ldV  Þ dU =Cv dT + ldV - pdV

Si le gaz est parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température ce qui impose :

d’où l = p

mais surtout :

dU = Cv.dT

De la même façon, si l'on cherche une expression analytique de la seconde loi de Joule pour un gaz parfait :

dH = dU + p.dV + V.dp = dQ + V.dp

avec dQ = Cp dT + k.dV 

L'enthalpie d'un gaz parfait ne dépendant que de la température, on obtient :

mais surtout :

  dH = Cp.dT


2. La relation DE MAYER

Par définition de l'enthalpie et pour un gaz parfait : H = U + pV = U + nRT

d'où dH = dU + nR.dT

Or

La relation de Mayer s'écrit :

Cp - Cv = nR 

Pour les capacités thermiques molaires : cp,m - cv,m = R 

Pour les capacités thermiques massiques :  

Remarque : La capacité thermique à pression constante est supérieure à la capacité thermique à volume constant.


COMPRESSION ISOTHERME QUASI STATIQUE D' UN GAZ PARFAIT

On a déjà démontré, au cours du chapitre sur le premier principe, que le travail échangé par un gaz s'exprime par :

 

s'appelle le rapport volumétrique de compression

Calcul de la quantité de chaleur :

La transformation étant isotherme (dT = 0), la variation d'énergie interne DU est nulle. Par application du premier principe, on déduit :

Wqs(T) + Q = 0  

d'où     Q = -Wqs(T) 

Conclusion : Dans le cas d'une compression isotherme quasi statique d'un gaz parfait, le gaz fournit au milieu extérieur une quantité de chaleur égale au travail qu'il reçoit du milieu extérieur.


COMPRESSION ADIABATIQUE D' UN GAZ PARFAIT

Loi de Laplace

(1) car n et R sont des constantes.

dU = dW = -p. dV

En identifiant avec la première loi de Joule :

dU =  -p. dV = Cv.dT d'où

En reportant dans (1), on peut éliminer le terme en dT :

  (2)

Cp - Cv = g.Cv - Cv = Cv (g - 1) = nR

Þ

En reportant dans (2) :

or

Þ (3)

Par intégration, il vient :

ln p + cte(p) + g.lnV + cte(V) = 0      soit     ln p + g.lnV +  = cte(p) + cte(V)

En passant à l'exponentielle, on obtient finalement :

         Loi de LAPLACE

Comparaison graphique entre la compression isotherme et la compression adiabatique :

Plaçons-nous dans un diagramme de Clapeyron :

Cherchons à comparer les pentes des deux courbes. Pour cela il faut exprimer les dérivées de la pression par rapport au volume, respectivement à température et à chaleur constante.

 

Les deux pentes sont négatives. Celle de l'adiabatique vaut g fois celle de l'isotherme.

On remarque que, comme g > 1, la pente d'une adiabatique est plus grande que celle d'une isotherme.

Conclusion pratique : Avec un même rapport volumétrique, une compression adiabatique élève davantage la pression qu'une compression isotherme. Mais surtout, elle élève la température du gaz !

Autres expressions de la loi de Laplace

Nous allons rechercher la forme que prend la loi de Laplace lorsque l'on choisit les deux autres couples de paramètres indépendants (p, T) ou (T, V).

En partant du couple d'équations (1) et (3) :

(1)

(3)

Couple (p, T)

Couple (T, V)

La relation (3) permet d'écrire :

En remplaçant dans la relation (1) :

 

Þ

Par intégration, on obtient :

La relation (3) permet d'écrire :

En remplaçant dans la relation (1) :

 

Par intégration, on obtient :

Remarque : Dans ces trois expression de la loi de Laplace, la constante diffère.

Remarque : Une façon plus simple de procéder consiste à partir de p.V g = cte  d'utiliser l'équation d'état du gaz parfait et d'effectuer les substitutions nécessaires.

Exercice : Calculer l'élévation de température de l'air lorsqu'il est comprimé adiabatiquement dans le corps d'une pompe à vélo dans un rapport volumétrique 10 à partir de 273 K.

Donnée : g = 1,40

Solution : Tf = 686 K » 413 °C

Calcul du travail reçu

Toujours au cours de l'étude du premier principe, on a su montrer que :

En tenant compte de l'équation d'état des gaz parfaits, nous pouvons facilement aboutir à la forme :

Remarque 1 : Cette relation indique que puisque le gaz reçoit du travail (Wq.s > 0), la compression adiabatique doit augmenter la température du gaz.

Remarque 2 : Étant donné que le transfert d'énergie par chaleur est nul, une compression adiabatique non quasi statique ferait intervenir la même quantité de travail !

Comment réaliser une transformation adiabatique quasi-statique ?

Une enceinte adiabatique, c'est à dire parfaitement calorifugée, n'existe pas. Cela n'empêche pas à des transformations courantes de tendre vers le modèle de la transformation adiabatique.

On pourra considérer une transformation comme adiabatique si elle est suffisamment rapide comparée à la durée d'évacuation de la chaleur.

Exemple : Prenons le cas du piston d'un moteur de voiture. Pour un régime moteur de 3000 tours /min. (50 tours/s), la compression adiabatique correspond à un demi tour qui s'effectue donc en 1/100 de seconde. Il faudra sûrement plus de temps au moteur pour se refroidir jusqu'à la température ambiante !

Autres cas pratiques : Voir T.P. sur les mesures de g .

Un exemple pratique, l’expansion d’une mousse à raser


TRANSFORMATIONS FERMÉES POUR UN GAZ PARFAIT

Nous allons faire subir à une certaine quantité de gaz parfait une suite cyclique de transformations.

Cycle à deux isobares et deux isochores

Soient les transformations quasi-statiques décrites sur le diagramme de Clapeyron suivant (dès qu'il s'agit de machines thermiques, on parle plutôt de diagramme de Watt) :

Pour les quatre états, nous dressons le tableau :

A

pA

B

pA

C

pA

D

pA

 

VA

 

VA

 

VA

 

VA

 

TA

 

TA

 

TA

 

TA

Calcul du travail échangé par le gaz au cours du cycle :

dW = -p.dV

A ® B : p = cte Þ WAB = -pA (VB -VA) < 0 car détente

B ® C : V = cte Þ WBC = 0

C ® D : p = cte Þ WCD = -pC (VD -VC) > 0 car compression

D ® A : V = cte Þ WDA = 0

Le travail total est égal à la somme des travaux le long de chaque transformation :

W = WAB + WCD = (VB -VA) (pD - pA) < 0 car pD - pA < 0

Conclusions :

· En valeur absolue, le travail sur un cycle est égal à l'aire du cycle dans le diagramme de Clapeyron (Watt).

· Son signe est négatif (< 0) s'il est parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre.

Calcul de la quantité de chaleur échangée par le gaz au cours du cycle :

Comme la variation de l'énergie interne est nulle sur un cycle, la quantité de travail sera opposée au travail échangé.

Conclusion : S'il fournit du travail, un gaz doit recevoir de la chaleur.

Cycle à deux isothermes et deux adiabatiques ou cycle de Carnot

Pour les quatre états, nous dressons le tableau :

 

A

pA

B

pA

C

pA

D

pA

 

VA

 

VA

 

VA

 

VA

 

TA = TB

 

TA = TA

 

TA = TD

 

TA = TC

Calcul de la quantité de chaleur échangée par le gaz au cours du cycle :

Au cours des transformations adiabatiques Q = 0.

Au cours des transformations isothermes :

A ® B : DU = 0 car    dT = 0

C ® D : DU = 0 car    dT = 0

La quantité de chaleur totale est la somme des quantités de chaleur :

Calcul du travail échangé par le gaz au cours du cycle :

Est-ce utile si l'on souhaite le travail total ? Il suffira de reprendre le cas précédent !

Cas particulier de ce cycle de Carnot : calcul de l'expression QA® B/TA + QC® D/TC :

Þ

Les quatre volumes sont reliés par la loi de Laplace qui s'applique au cours des deux transformations adiabatiques. On montre facilement que :

et

Þ

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