Nature ondulatoire de la lumière

Il s'agit ici de traiter des interférences et de la diffraction.
L'approximation de l'optique géométrique n'est plus valable, on se place désormais dans le modèle des ondes lumineuses pour décrire ces phénomènes.
Vous pouvez aussi aller jeter un coup d'œil admiratif sur : www.sciences.univ-nantes.fr/physique/enseignement/tp/interferences/interf.html

La diffraction

Mise en évidence expérimentale

Un laser monochrome éclaire entièrement une ouverture circulaire de diamètre a. Si l'on place un écran assez éloigné de l'ouverture, on est surpris d'observer que l'écran n'est pas régulièrement éclairé. Il se forme des cercles concentriques alternativement sombre et lumineux au centre desquels se trouve une tache centrale lumineuse. Plus on s'écarte de la tache centrale, plus l'éclairement des cercles lumineux s'estompe.
Ce phénomène est d'autant plus marqué que le diamètre du trou est petit. La tache centrale, de rayon x, correspond à une ouverture angulaire q du faisceau émergent du trou. Plus le trou est petit, plus l'angle q est grand. A diamètre d'ouverture donné, en remplaçant le laser par un autre laser de longueur d'onde plus grande, on remarque que la taille de la tache centrale augmente.

L'analyse géométrique fournit :sin q =x/D
L'expérience montre que l'ouverture angulaire q vaut : sin q »1,22 l/a

Par identification des deux termes : x= 1,22 lD/a

L'origine du phénomène : le principe de Huygens

" Chaque point M d'une surface S atteinte par la lumière peut être considéré comme une source secondaire émettant une onde sphérique. Les vibrations des différentes sources se superposent. "

Les figures de diffraction

Les figures de diffraction apparaissent visiblement dès que la taille de l'ouverture ou de l'obstacle atteint celle de la longueur d'onde. La figure sera d'autant plus importante que la taille est petite. Son aspect dépend fortement de la forme de l'ouverture.
À noter que c'est le phénomène de diffraction qui permet la mesure de longueurs dans de nombreux domaines : cristaux, protéines… La lumière utilisée est dans le domaine des rayons X ; on parle de " diffraction par rayons X ".

Diffraction par une fente

Elle est caractérisée par sa largeur a (sa hauteur b est extrêmement plus grande que sa largeur).
Le phénomène de diffraction apparaît parce que tous les points de l'ouverture de largeur a n'ont pas le même trajet à parcourir pour aboutir en un point de l'écran. C'est donc leur différence de marche qui est à la base du phénomène.
Le calcul est complexe pour aboutir à l'intensité reçue par diffraction dans une direction q :

la presque totalité de l'intensité lumineuse se retrouve dans la tache centrale qui est deux fois plus large que les taches secondaires. La largeur angulaire de la tache centrale est donnée par :
Elle est donc d'autant plus importante que la largeur a de la fente diffractante est petite.

Diffraction par une ouverture circulaire

L'image d'un point objet donnée par un instrument n'est pas ponctuelle. Le phénomène de diffraction dû à la nature ondulatoire de la lumière provoque la formation d'un disque (disque d'Airy ou tache de diffraction) entouré d'anneaux concentriques.


Figure 1 : tache d'Airy et profil en intensité

Si l est la longueur d'onde et a le diamètre de la tache, le rayon angulaire q de la tache de diffraction est donné par: .

Ce phénomène explique que la netteté de l'image d'une étoile donnée par un télescope est entre autres phénomènes, limitée par la figure de diffraction causée par le diamètre de la monture de l'objectif. Il ne faut donc pas nécessairement que l'ouverture soit petite pour que le phénomène de diffraction ait lieu.

Le critère de Rayleigh

Lorsque deux objets ponctuels très proches forment des images à travers un instrument optique, leur résolution dépend en dernier recours du recouvrement de leurs taches de diffractions respectives.
Les deux images commenceront à paraître séparées si le maximum centrale d'une tache correspond au premier minimum de l'autre.

Figure 2 : A gauche des deux taches sont résolues tandis qu'à droite elle apparaissent confondues.

L'écart angulaire minimal sera donc : où l représente la longueur d'onde dans le vide et d la taille de chaque point.

Les interférences

Définition et conditions

On parle d’interférences lorsque deux (ou plusieurs) ondes de même fréquence ajoutent leur effets en un même point de l’espace. Elles ne se contentent pas de se superposer mais se combinent constructivement ou destructivement selon leur phase relative.

Pour que ce phénomène surprenant apparaisse, les ondes doivent satisfaire aux conditions suivantes :

Être de même fréquence donc de même longueur d’onde dans le vide,
Avoir quasiment la même direction de propagation,
Avoir des amplitudes d’un même ordre de grandeur,
Être "cohérentes" c'est à dire que leur condition d'émission par la matière soit , en quelque sorte, concerté.

Pour satisfaire à la condition de cohérence, les deux vibrations qui aboutissent au point M peuvent :

Soit provenir d’une même source en ayant parcouru des chemins différents de longueur d₁ et d₂.
Soit être issues de deux sources S₁ et S₂ vibrant de concert (sources synchrones) distantes de d₁ et d₂ de M.

Les interférences sont observables dans de nombreux domaines de la physique : ondes sonores, lumineuses, électromagnétiques, à la surface d’un liquide…

Composition de deux vibrations

Considérons deux vibrations s₁ et s₂ qui se superposent en un point M : s = s₁ + s₂
Condition : Les deux ondes ont même fréquence.
Hypothèses : Les deux ondes ont même amplitude a.
Nous les notons et
La vibration résultante au point M est donc :
Or
==>
où s'appelle l'amplitude de la vibration résultante et est une grandeur constante au cours du temps.
Le terme s'appelle le terme d'interférence. Comme il est compris entre 0 et 1, la résultante s prendra différente valeurs. En particulier, l'amplitude A s'annulera ou sera maximale : on parlera d'interférences destructives (franges noires obtenues pour cos j = 0) ou constructives (franges brillantes obtenues pour cos j = 1).

Remarque : le terme varie au cours du temps mais sa valeur moyenne est nulle. Comme la durée de persistance de notre rétine est beaucoup plus longue que la période de la lumière visible et si nous étions sensibles au signal s, nous ne devrions pas voir le phénomène d'interférences lumineuses.
L'œil est un récepteur quadratique cela signifie qu'il est sensible au carré de s : la moyenne du carré d'un cosinus n'étant pas nul, le problème que nous avons soulevé est résolu. Comme l'œil, une grande majorité des récepteurs de lumière sont des détecteurs quadratiques. En fait, ils détectent l'énergie qui est proportionnelle au carré de l'amplitude.

Différence de marche entre les deux vibrations

Considérons une source qui à la date t émet le signal : .

En suivant le chemin d₁ pour aboutir en M, elle y arrive avec un retard

où c est la célérité du signal dans le milieu.
À la date t, l'état vibratoire en M est le même que celui de la source t₁ secondes avant :

Pour un second chemin d₂, il en sera de même :
La différence de phase entre les deux signaux est donc :
Or par définition de la pulsation w : et
La différence de phase s'exprime donc par :
Appelons d la différence d₁ - d₂ : c'est la différence de marche entre les deux trajets.
On obtient finalement :

État d'interférence

On peut relier l'état d'interférence (constructif ou destructif) à la différence de marche d . Pour cela, on reprend l'expression de l'amplitude

Interférences destructives

Cela correspond au cas où A est nul (i.e. le cosinus s'annule) : où k Î Z
La différence de marche est alors un nombre entier de longueurs d'onde augmenté d'une demi longueur d'onde (ou un nombre impair de demi longueur d'onde).
On préfère exprimer la différence de marche en terme de longueur d'onde :

Interférences constructives

A est maximale. La différence d marche est un nombre entier de longueurs d'onde.

Cas de la lumière

Pour mettre en évidence des interférences dans le domaine lumineux, il faut qu'en chaque point M d'un écran la phase j garde une valeur constante dans le temps afin d'obtenir un phénomène stable. Deux sources qui satisfont à cela sont dites cohérentes.
Or, dans le mécanisme d'émission de la lumière, chaque atome émet une radiation de courte durée (10^-8 s) et retombe dans son état fondamental. D'une émission à l'autre, la phase change de sorte que la valeur moyenne du cosinus de la phase s'annule () est le terme d'interférence s'annule.
C'est pour cela qu'en pratique on ne prend q'une seule source dont soit on opère une division du front d'onde (trous d'Young) soit on divise l'amplitude (miroir de Loyd).

Trous d'Young en lumière monochromatique

Une source S ponctuelle éclaire un écran opaque percé de deux trous dont les dimensions sont également faibles. D'après les lois de l'optique géométrique, nous devrions observer sur un écran E les traces M₁ et M₂ des rayons issus de S₁ et S₂. Du fait des faibles dimensions des trous, la diffraction intervient et l'on obtient un champ d'interférences dans le recouvrement des faisceaux diffractés.

Différence de marche

d = S₂B or sin q = l /a
tan q = y/D
Si D >> a alors d = a (y/D)
Les interférences constructives apparaissent pour les positions de M qui satisfont à : y = klD/a
Les interférences destructives apparaissent pour les positions de M qui satisfont à : y = (2k + 1) lD/2a

La figure d'interférences

En lumière quasi monochromatique

On observe sur l'écran une alternance de franges alternativement sombre et brillantes.

Figure 3 : figure d'interférence obtenue avec deux fentes
d'Young en lumière monochromatique (630 nm)

L'observation en lumière blanche

Interfrange

La distance qui sépare deux franges sombres successives ou deux franges brillantes successives s'appelle l'interfrange. Il vaut :

Intensité lumineuse en un point de l'écran

L'œil est un récepteur quadratique. Cela signifie qu'il est sensible à l'énergie qu'il reçoit et non à l'amplitude de l'onde.
Cette énergie est proportionnelle au carré de l'amplitude :
or un peu de trigonométrie montre que
L'intensité lumineuse s'exprime par : où I₀ = a²
On peut exprimer la répartition de cette énergie en fonction des caractéristiques géométriques du dispositif.
En se souvenant que et que , nous obtenons :
Et l'intensité devient :

Ce qui donne l'aspect suivant. La mesure de l'interfrange demande de bien repérer les maxima ou les minima.