Mot créé aux États Unis en 1929 par Eugène Cook Bingham (1878-1945). L'émergence de la rhéologie est liée à l'épanouissement des polymères. …et bien sûr la construction des premiers rhéomètres.
Étymologiquement, la rhéologie est une science qui traite de l'écoulement, des déformations, et plus généralement de la viscosité des matériaux sous l'action de contraintes. La rhéologie est capable d'intégrer l'étude de l'ensemble des substances, qu'elle soient liquides ou solides. Mais dans la plupart des cas , le formulateur doit traiter de problèmes qui concernent des solides pâteux ou des liquides épais. Les termes utilisés ici sont volontairement équivoques. En effet, il faut être conscient du fait que la notion de liquide recouvre aussi bien des liquides très fluides comme l'eau, les solvants organiques, les solutions et les dispersions diluées mais aussi des substances beaucoup plus visqueuses et consistantes à l'aspect pâteux, semi solide voire même solide. Ces différences sont souvent dues à la très large gamme d'échelle de temps qui concerne le mécanisme d'écoulement. L'écoulement d'un fluide comme l'eau s'effectue instantanément sous l'effet de la pesanteur. Dans certains cas, il faudra attendre quelques heures, pour observer un début d'écoulement significatif. C'est le cas extrême des verres des vitraux des cathédrales dont l'écoulement s'opère à l'échelle des siècles !
Malgré ces différences d'échelle de temps , ce sont les mêmes lois de comportement et les mêmes grandeurs qui régissent les écoulements.
La viscosité n'est pas la seule grandeur à observer, la plupart des matériaux possèdent également des propriétés élastiques d'autant plus marquées qu'ils possèdent une organisation moléculaire complexe. La viscoélasticité étudie de concert les propriétés visqueuses et élastiques des matériaux.
Pour commencer il convient de définir le mouvement de cisaillement qui est le type de mouvement mis en œuvre en rhéologie.
Exemple simple, mouvement d'un échantillon entre deux surfaces planes, l'une immobile, l'autre animée d'un déplacement parallèle à la première. Ce mouvement idéal s'apparente à celui de la peinture étalée à la brosse sur un mur, de la crème cosmétique étendue sur la peau, du beurre étalé sur la tartine de pain.
Pendant toute la durée de l'écoulement (du cisaillement) :
Deux grandeurs servent à caractériser quantitativement le cisaillement
Sous certaines conditions , elle est aussi appelée
gradient de vitesse.
Notation possibles : D, 
,
. C'est cette dernière qui est
adoptée dans ce document.
(1) unité : s-1
La valeur de la vitesse de cisaillement dépend, non seulement de la vitesse de déplacement de la plaque mobile mais aussi, de l'épaisseur e cisaillée. Si e est faible, il est possible d'atteindre des vitesses de cisaillement élevées même avec des vitesses v relativement faibles.
Il convient de ne pas confondre vitesse de cisaillement et déformation de cisaillement (shear strain). La déformation correspond au vecteur déplacement u de la particule fluide d'une couche sous l'effet du mouvement de cisaillement pendant une durée t.
(2) unité : sans dimension
La vitesse de cisaillement est reliée à la
déformation de cisaillement par : 
(3)
Si la courbe en pointillés est un
segment de droite, ne dépend plus de e mais uniquement du temps.
Considérons deux couches au contact l'une de l'autre, elles se déplacent relativement l'une par rapport à l'autre. Il en résulte l'apparition de forces de frottement qui s'exercent tangentiellement à la surface de la couche : ce sont les forces de cisaillement.
Ces forces dépendent de la surface considérée. On est amené à définir la contrainte de cisaillement par :
(4) unité : N/m2 = pascal (Pa)
La contrainte de cisaillement est une grandeur définie en tout point du matériau. Elle varie en général d'une couche à l'autre mais est constante en tout point de la même couche.
Les mouvements de cisaillement sont réalisés avec des
rhéomètres. Dans les situations applicatives, ils ne possèdent pas en général
cette symétrie plane de translation. En effet, la plupart des rhéomètres
produisent un mouvement de rotation (cylindres coaxiaux, cône plan, plan plan)
; les mouvement de cisaillement y sont donc rotatifs.
D'autre part, le
mouvement de cisaillement n'est pas toujours engendré par des surfaces solides.
La différence de pression appliquée aux extrémités de l'échantillon
conjointe éventuellement à l'effet de la pesanteur (tubes, canalisations,
vaisseaux sanguins) permet aussi l'écoulement. C'est ce qui se produit dans les
viscosimètres à capillaire ou dans les viscosimètres à chute de
bille dont l'utilisation est souvent limitée au fluide newtoniens
(cf. infra).
En général, la contrainte de cisaillement augmente quand la vitesse de cisaillement augmente. Vulgairement dit, plus on " brasse " un liquide, plus il faut dépenser d'énergie. Mais qu'en est-il du rapport des deux grandeurs? C'est une propriété du matériau qui n'est rien d'autre que la viscosité dynamique.
(5)
unités :
Pa.s ou poiseuille (Pl) ; l'unité cgs peut encore être rencontrée : le poise
(10 Po = 1 Pa.s)
NB : la viscosité dynamique s'appelle aussi viscosité apparente.
Remarque : h = f(T, p, t) ou ce qui revient au même
h = f(T, p, )
(6) où r est la masse volumique.
Unité : SI m2.s-1 (cgs
stokes)
La viscosité cinématique présente un intérêt dès que la viscosité
dépend de la densité (huiles). Elle est utilisée dans les viscosimètres à
orifice (coupe Ford).
(7) où hs est la viscosité dynamique du solvant.
(8)
(9)
Les rhéomètres permettent d'obtenir des courbes appelées rhéogrammes qui servent à décrire les propriétés d'écoulement du matériau.
C'est généralement la représentation contrainte de cisaillement en
fonction de la vitesse de cisaillement qui est utilisée mais on peut aussi trouver la représentation réciproque :
Remarque :
Les représentations e = f(t) sont utilisées à
contrainte t constante dans les expériences de
fluage.
Les représentations t = f(t) sont utilisées à
vitesse de cisaillement constante
dans les expériences de relaxation.
Leur
viscosité ne dépend pas du cisaillement appliqué.
Les rhéogrammes ont l'aspect suivant :
Modèle mathématique : 
Pour un fluide newtonien, on parle de viscosité absolue.
Une seule mesure est alors suffisante pour décrire l'écoulement à T
et p fixés. L'utilisation d'un rhéomètre pour l'étude de tels
fluides ne s'avère nécessaire que pour vérifier le caractère newtonien du
fluide. L'utilisation de viscosimètres suffira pour étudier le comportement de
la viscosité vis à vis de la température, de la pression ou de la
concentration (avec un solvant newtonien).
Exemples : eau, la plupart des solvants, huiles minérales,
certaines dispersions.
Dans ce cas la viscosité n'est pas constante.
À chaque valeur du couple vitesse de cisaillement, contrainte de cisaillement (,t) correspond une valeur de
la viscosité h. Dès lors, on parle
de viscosité apparente.
Autrefois et encore parfois appelés pseudoplastiques.
La représentation passe par l'origine avec une décroissance de la dérivée,
c'est-à-dire de la viscosité apparente, quand le gradient de vitesse augmente.
Exemples : Ce type de comportement est de loin le plus fréquent. Il concerne les
dispersions de particules asymétriques, les polymères à longues chaînes en
solution ou à l'état fondu, les pâtes à papier, les colles, les ciments…
Interprétation à l'échelle microscopique : les molécules, sous
l'effet de la vitesse de cisaillement ont tendance à s'aligner progressivement
le long des couches ce qui favorise leur glissement relatif. Une seconde
interprétation consiste à envisager une modification de la structure du
matériau sous l'effet du gradient de vitesse (déstructuration par rupture de
liaison de type Van der Waals, défloculation des particules…)
Modèle(s) mathématique(s) : Aucune
équation ne peut prétendre venir à bout de ce type de comportement.
L'empirisme est roi ; c'est pourquoi plusieurs modèles doivent être essayés.
(10)
où K est le coefficient de consistance (viscosité pour
un gradient de 1 s-1) et n (< 1) est l'indice de comportement qui
traduit l'écart avec le fluide de Newton.
Cette équation s'exploite facilement en passant aux logarithmes (recherche par
régression linéaire pour validation du modèle).
En effet : 
(11)
Dans le modèle d'Ostwald, la viscosité s'exprime par : 
(12)
Les limites de ce type de loi interviennent quand le matériau présente des régions de comportement newtonien, l'une à faible vitesse de cisaillement et l'autre à fort vitesse de cisaillement par exemple.
Loi de puissance est tronquée du côté des faibles vitesses de cisaillement et est remplacée par une loi de Newton.
avec une condition de raccordement pour 
On peut citer le modèle d'Ellis :
(13)
Remarque : quand h << h0, on retrouve la loi de puissance
Ou encore le
modèle de Williamson :
La contrainte est considérée comme la somme de deux
termes. Le premier traduit l'écoulement par rupture de liaisons ; le second, la
contrainte visqueuse habituelle : 
.
En supposant que 
(dans la seconde région
newtonienne) on obtient :
(14)
Quant à l'équation de Shangraw, elle admet que les rhéogrammes ont une asymptote oblique qui impose à l'écart Q de décroître exponentiellement.
le modèle prend donc la forme : 
(15)
t0 et h¥ sont directement déterminés sur le rhéogramme. Q est ensuite calculé point par point et Ln Q en fonction de la vitesse de cisaillement permet d'accéder à b.
Tout cela peut être sans fin… Citons quand même le modèle de Cross :
(16)
À tord dénommés épaississants.
Ce comportement est beaucoup moins fréquent. Il concerne des dispersions très concentrées, les solutions d'amidon, sables mouillés et compactés et certaines huiles polymériques. Certains de ces produit augmentent de volume sous la contrainte (épaississants), pas tous ! Les causes d'origine moléculaire sont diverses et pas toujours élucidées. On peut invoquer l'augmentation du volume libre entre les particules. Au repos, il serait minimal, sous un gradient de vitesse en augmentation,il y a gonflement du liquide (les particules sont moins imbriquées). La phase continue n'est plus capable de combler les vides interparticulaires ni d'assurer une bonne lubrification.
Modèle : une loi de puissance avec n > 1.
Ce dernier terme indique qu'ils s'écoulent à partir d'une certaine valeur de
contrainte tc.
Interprétation : au repos le liquide possède une structure
tridimensionnelle rigide (particules emboîtées) ou floculées. Le seuil
d'écoulement correspond à l'énergie nécessaire pour les séparer. Au-delà,
l'écoulement s'effectue sous l'effet de la contrainte effective (t -
tc).
On distingue deux types de liquides plastiques :
Il a un comportement newtonien au delà du seuil : 
(17)
où a désigne la viscosité plastique.
Ex : Bingham a étudié les peintures à
l'huile qui sont des fluides newtoniens. Ce n'est plus le cas des peintures
actuellement fabriquées qui répondent à des cahiers des charge plus
draconiens : étalement facile, absence de trace de pinceau, absence de coulure…
Ce sont des liquides plastiques non idéaux qui possèdent un comportement plastique fluidifiant.
Ce cas est plus répandu que les liquides de Bingham.
Ex : boues, pâte
dentifrice, sulfate de zinc ou de baryum en suspension, pâte à pain, matières
grasses, peintures dispersion.
Deux modèles mathématiques se dégagent.
Modèle de Casson : 
(18) où est b la viscosité plastique.
De nombreux matériaux présentent des phénomènes d'hystérésis. Tout se passe comme si les contraintes subies dans un passé relativement récent modifiaient leur comportement à l'écoulement présent. Mais ils ne seront considérés comme thixotropes que s'ils retrouvent les propriétés initiales. Cela se traduit par des rhéogrammes qui présentent un cycle d'hystérésis.
 |
Cet exemple montre un fluide qui voit sa viscosité décroître sous
l'augmentation de la vitesse de cisaillement (AB). Sous l'effet d'une contrainte constante (resp. d'une vitesse constante), la viscosité continue à diminuer (BC). L'effet déstructurant est retardé. Il s'ensuit que la descente en contrainte (resp. en vitesse) se fait sous une viscosité plus faible. Le fait d'observer que les points A et D sont confondus permet d'affirmer que l'on a affaire à un matériau thixotrope. |
Une peinture ou un vernis à ongle doivent posséder une faible viscosité à fort cisaillement afin de pouvoir être étalés facilement. Par contre, elle doit retrouver rapidement une forte viscosité dès que la contrainte s'annule (i.e. à faible cisaillement, par exemple gravitationnel) afin d'éviter les coulures… mais pas trop rapidement si l'on veut un effet tendu. Cela impose de connaître un temps caractéristiques tC de la cinétique de restructuration, comparativement au temps d'observation (séchage dans notre exemple) tE. Le rapport tC/tE s'appelle le nombre de Déborah (De) ou encore le nombre de Weissenberg (We).