Equations aux dimensions


Il s'agit de relations traduisant de façon symbolique la nature des grandeurs physiques à partir des unités fondamentales. Elles s'avèrent utiles pour vérifier l'homogénéité des relations ou pour effectuer des changements d'unités.

Établissement des équations aux dimensions

Symboliquement on écrit :

[G] = [M]a [V]b [T]c

Cela se lira de la façon suivante : La dimension de la grandeur G est égale à la dimension d'une masse à la puissance a, multipliée par la dimension d'une vitesse à la puissance b multipliée, par la dimension d'un temps à la puissance c.

Vérification de l'homogénéité d'une formule

Supposons que l'on ait établi une relation, qui se traduise par une égalité, entre une grandeur G et un certain nombre d'autre grandeurs.

On a été amené à poser, par exemple :

P = U I

pour exprimer la puissance P consommée par une portion de circuit électrique parcourue par un courant I quand la différence de potentiel à ses bornes vaut U.

Cette relation ne peut être vraie que si le produit U I représente effectivement une puissance. Autrement dit, les deux termes de l'égalité doivent avoir la même dimension. S'il en est ainsi, on dit que la relation est homogène.

Pour des relations nouvelles, ou un peu compliquées, la comparaison des dimensions des deux termes de l'égalité permet de vérifier l'homogénéité de la formule.

En effet, si une relation n'est pas homogène, elle est absolument fausse ! A l'inverse, si la relation étudiée est homogène, il n'est pas certain qu'elle soit juste ! Une des raisons à cela provient de l'existence de grandeurs sans dimension ; de sorte que leur présence, ou non, ne peut être vérifiée par l'équation aux dimensions.

Grandeurs sans dimension

On les appelle aussi grandeurs non dimensionnelles : elles correspondent au rapport de deux grandeurs de même espèce et s'expriment par un nombre indépendant du système d'unités choisi. On peut citer quelques exemples :

Remarques

Quelques exemples

        GRANDEUR

        FORMULE DE DÉFINITION

        ÉQUATION AUX DIMENSIONS MLT

        Longueur

        L

        L

        Vitesse

        v = L/t

        LT-1

        Accélération

        a = v/t

        LT-2

        Surface

        S = L2

        L2

        Volume

        V = L3

        L3

        Masse volumique

        r  = m / V

        ML-3

        Volume massique

        v = V / m

        M-1L3

        Force

        F = m a

        MLT-2

        Pression

        p = F / S

        ML-1T-2

        Travail

        W = F L

        ML2T-2

        Puissance

        P = W / t

        ML2T-3

    Tableau 3

Changements d'unités

On utilise pour cela la formule de grandeur :

qui est vraie aussi bien pour le rapport de deux grandeurs quelconques de la même espèce, que pour le rapport de deux représentants particuliers UG et U'G utilisés comme unités pour une grandeur dans deux systèmes différents.

Si l'on applique la formule de grandeur à des unités de même type appartenant à deux systèmes différents, l'équation aux dimensions symbolise le rapport des unités.

        Exemple :

Par ailleurs on se souvient que la rapport des unités est égal à l'inverse du rapport des nombres qui expriment les résultats. D'où :


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